解线频调

信号模型

信号模型以基带信号表示，不考虑载频信号，发射线性调频信号写成

s(t)=w(t) ejπμt2,μ=BT,  t∈[0,T]s(t)=w(t)\,e^{j\pi\mu t^{2}},\qquad \mu=\frac{B}{T},\; t\in[0,T]

其中 w(t)w(t) 为脉冲窗（如矩形窗），μ\mu 为调频率、BB 带宽、TT 脉宽。

目标在距离对应时延 τ\tau 处，具有多普勒 fdf_d，注意，窄带“停止-去动”假设下，多普勒表现为纯频移。

单目标回波的基带信号模型：

r(t)=α w(t−τ) ejπμ(t−τ)2 ej2πfdtr(t)=\alpha\, w(t-\tau)\,e^{j\pi\mu (t-\tau)^2}\,e^{j2\pi f_d t}

α\alpha 为复幅度，考虑到信号衰减、反射。

特别说明：若要显式携带载频 fcf_c 的“宽带多普勒缩放”效应，可进一步细化；本文以常用窄带近似推导 Dechirp 的结果。

匹配滤波的闭式表达

对于时延为 τm\tau_m 的 s(t)s(t) 的匹配滤波输出为

z(τm)=∫r(t) s∗(t−τm) dtz(\tau_m)=\int r(t)\,s^*(t-\tau_m)\,dt

代入信号公式：

z(τm)=α ⁣∫ ⁣w(t−τ) w(t−τm) ejπμ[(t−τ)2−(t−τm)2] ej2πfdt dt=α ejπμ(τ2−τm2)∫ ⁣Wτ,τm(t) ej2π [μ(τm−τ)+fd] t dt\begin{aligned} z(\tau_m) &=\alpha\!\int\! w(t-\tau)\,w(t-\tau_m)\,e^{j\pi\mu[(t-\tau)^2-(t-\tau_m)^2]}\,e^{j2\pi f_d t}\,dt\\ &=\alpha\,e^{j\pi\mu(\tau^2-\tau_m^2)} \int\! W_{\tau,\tau_m}(t)\,e^{j2\pi\,[\mu(\tau_m-\tau)+f_d]\,t}\,dt \end{aligned}

其中 Wτ,τm(t)≜w(t−τ) w(t−τm)W_{\tau,\tau_m}(t)\triangleq w(t-\tau)\,w(t-\tau_m) 是两个窗的重叠窗。

若取矩形窗 w(t)=rect ⁣(tT)w(t)=\mathrm{rect}\!\left(\frac{t}{T}\right)，重叠长度 L(Δ)≈T−∣Δ∣L(\Delta)\approx T-|\Delta|（Δ=τm−τ\Delta=\tau_m-\tau），则积分结果正比于“sinc 主瓣”：

z(τm)∝L(Δ) ejϕ(τm) sinc ⁣([μ(τm−τ)+fd]  L(Δ))z(\tau_m)\propto L(\Delta)\,e^{j\phi(\tau_m)}\, \mathrm{sinc}\!\Big(\big[\mu(\tau_m-\tau)+f_d\big]\;L(\Delta)\Big)

需要说明的是，峰值条件，即相关峰：μ(τm−τ)+fd=0⇒τm=τ−fdμ\mu(\tau_m-\tau)+f_d=0\Rightarrow \tau_m=\tau-\tfrac{f_d}{\mu}。这就是 LFM 信号的距离-多普勒耦合：距离会造成时延，多普勒会使相关峰沿时延轴偏移 −fd/μ-f_d/\mu

解线频调 Dechirping

Dechirp 的第一步是与参考 LFM 的复共轭相乘（点乘）。令参考 chirp 信号为

sref(t)=wref(t−tref) ejπμ(t−tref)2s_{\mathrm{ref}}(t)=w_{\mathrm{ref}}(t-t_{\mathrm{ref}})\,e^{j\pi\mu(t-t_{\mathrm{ref}})^2}

将回波信号与其共轭相乘：

y(t)=r(t) sref∗(t)=α w(t−τ) wref(t−tref)ejπμ[(t−τ)2−(t−tref)2] ej2πfdt\begin{aligned} y(t) &=r(t)\,s_{\mathrm{ref}}^{*}(t)\\ &=\alpha\,w(t-\tau)\,w_{\mathrm{ref}}(t-t_{\mathrm{ref}}) e^{j\pi\mu\big[(t-\tau)^2-(t-t_{\mathrm{ref}})^2\big]}\,e^{j2\pi f_d t} \end{aligned}

展开平方差：

(t−τ)2−(t−tref)2=2(tref−τ) t+(τ2−tref2)(t-\tau)^2-(t-t_{\mathrm{ref}})^2 =2(t_{\mathrm{ref}}-\tau)\,t+(\tau^2-t_{\mathrm{ref}}^2)

于是，

y(t)=α C(τ,tref) g(t)  ej2π fb t,fb=μ (tref−τ)+fdy(t)=\alpha\,C(\tau,t_{\mathrm{ref}})\,g(t)\; e^{j2\pi\,f_b\,t},\qquad f_b=\mu\,(t_{\mathrm{ref}}-\tau)+f_d

其中，

  • C(τ,tref)=ejπμ(τ2−tref2)C(\tau,t_{\mathrm{ref}})=e^{j\pi\mu(\tau^2-t_{\mathrm{ref}}^2)} 是常相位；
  • g(t)=w(t−τ) wref(t−tref)g(t)=w(t-\tau)\,w_{\mathrm{ref}}(t-t_{\mathrm{ref}}) 是重叠窗；
  • 关键信息：Dechirp 后的信号在重叠时段内变为单一正弦，其频率 fbf_b 线性映射目标时延 τ\tau 以及叠加的 fdf_d

特例：若 tref=0t_{\mathrm{ref}}=0，则 fb=−μτ+fdf_b=-\mu\tau+f_d。就是常见架构 FMCW 中混频后得到“拍频” fbf_b

随后对 y(t)y(t) 作 一维 FFT：

Y(f)=∫y(t) e−j2πft dt    ⇒    Y(f)≈α C  g^(f−fb)Y(f)=\int y(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt \;\;\Rightarrow\;\; Y(f)\approx \alpha\,C\;\widehat{g}(f-f_b)

主瓣在 f=fbf=f_b 处，于是以频率刻度直接读出距离，再按 τ=tref−fb−fdμ\tau=t_{\mathrm{ref}}-\tfrac{f_b-f_d}{\mu} 反算。

采样率优势：若把 treft_{\mathrm{ref}} 选在目标大致时延附近，使 ∣tref−τ∣|t_{\mathrm{ref}}-\tau| 有界为 Δτmax⁡\Delta\tau_{\max}，则 ADC 只需覆盖

fs≳2(μ Δτmax⁡+∣fd∣max⁡)f_s \gtrsim 2\left(\mu\,\Delta\tau_{\max}+|f_d|_{\max}\right)

而非原始 2B2B。能大大降低计算量，这正是其工程意义。

两者的等价性

证明 “Dechirp + FFT 等价于匹配滤波” 。从匹配滤波定义出发，把

sref∗(t−τm)=sref∗(t)  exp⁡ ⁣{j2πμ τmt}  exp⁡ ⁣{−jπμ τm2}  exp⁡ ⁣{−j2πμ τmtref}s_{\mathrm{ref}}^*(t-\tau_m)=s_{\mathrm{ref}}^*(t)\; \exp\!\big\{j2\pi\mu\,\tau_m t\big\}\; \exp\!\big\{-j\pi\mu\,\tau_m^2\big\}\; \exp\!\big\{-j2\pi\mu\,\tau_m t_{\mathrm{ref}}\big\}

上式由二次相位配方得到。

于是

z(τm)=∫r(t) sref∗(t−τm) dt=e−jπμτm2 e−j2πμ τmtref∫r(t)sref∗(t)⏟y(t) ej2πμ τmt dt=  e−jπμτm2 e−j2πμ τmtref  ∫y(t) e+j2π(μτm) t dt⏟是 Y(f) 在 f=−μτm 处的取样  \begin{aligned} z(\tau_m) &=\int r(t)\,s_{\mathrm{ref}}^*(t-\tau_m)\,dt\\ &=e^{-j\pi\mu\tau_m^2}\,e^{-j2\pi\mu\,\tau_m t_{\mathrm{ref}}} \int\underbrace{r(t)s_{\mathrm{ref}}^*(t)}_{y(t)}\,e^{j2\pi\mu\,\tau_m t}\,dt\\ &=\boxed{\;e^{-j\pi\mu\tau_m^2}\,e^{-j2\pi\mu\,\tau_m t_{\mathrm{ref}}}\; \underbrace{\int y(t)\,e^{+j2\pi(\mu\tau_m)\,t}\,dt}_{\text{是 }Y(f)\text{ 在 }f=-\mu\tau_m\text{ 处的取样}}\;} \end{aligned}

若把频域符号规范为 Y(f)=∫y(t)e−j2πftdtY(f)=\int y(t)e^{-j2\pi f t}dt，则

z(τm)=e−jπμτm2 e−j2πμ τmtref  Y(f=−μτm)z(\tau_m)=e^{-j\pi\mu\tau_m^2}\,e^{-j2\pi\mu\,\tau_m t_{\mathrm{ref}}}\;Y\big(f=-\mu\tau_m\big)

即 匹配滤波输出（随 τm\tau_m 变化）等于 Dechirp 后信号的频谱在等距频率采样点 f=−μτmf=-\mu\tau_m 的取值，差一个已知相位因子。

又 fb=μ(tref−τ)+fdf_b=\mu(t_{\mathrm{ref}}-\tau)+f_d，主峰发生在

−μτm=fb⇒τm=τ−tref−fdμ-\mu\tau_m=f_b\quad\Rightarrow\quad \tau_m=\tau-t_{\mathrm{ref}}-\tfrac{f_d}{\mu}

与“相关峰条件”一致，因此两种方法严格等效。

常见结论

  • 核心映射：fb=μ(tref−τ)+fdf_b=\mu(t_{\mathrm{ref}}-\tau)+f_d。选 tref≈τt_{\mathrm{ref}}\approx\tau 可显著降低采样率。
  • 等价性：匹配滤波 ⇔\Leftrightarrow Dechirp + FFT（频率采样 f=−μτmf=-\mu\tau_m），仅差已知相位。
  • 耦合项：相关峰在 τm=τ−tref−fdμ\tau_m=\tau-t_{\mathrm{ref}}-\tfrac{f_d}{\mu} ，多普勒引起的距离偏置，需校正以获得无偏测距。
  • 窗口影响：非矩形窗使主瓣宽度稍增、旁瓣降低，但上述峰值位置与等价关系不变。