技术背景

说明

高斯混合模型(GMM)从理论到实践经过几十年的发展，内容较多，分为技术背景、公式推导、公式演变、实践方案四个部分来讲。

高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)的起源可以追溯到19世纪中叶，其理论基础主要建立在高斯分布之上。高斯分布，也成为正态分布，最早由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯(Carl Friedrich Gauss)在1809年首次详细描述，并提出了正态分布的数学表达式。高斯分布有对称性、集中性、可加性等，这些特性广泛存在于自然界和人工系统中，使其成为了统计学和概率论中的基础分布之一。

随着统计学的发展，人们逐渐认识到单一的高斯分布往往无法准确描述复杂的数据分布。因此，研究者们开始尝试使用多个高斯分布的线性组合来模拟更复杂的数据分布，这就是高斯混合模型的雏形。

在20世纪中后期，期望最大化算法(Expectation–maximization algorithm, EM)由亚瑟·彭特兰·登普斯特(Arthur Pentland Dempster)等人提出发表的经典论文中得到解释和命名。期望最大化算法是一种迭代方法，用于在统计模型中找到参数的最大似然或最大后验估计，其中模型取决于未观测到的隐变量(也称作潜在变量)。EM迭代在执行期望(E)步骤和最大化(M)步骤之间交替进行，E步骤创建一个函数，用于使用参数的当前估计值评估对数似然的期望，M步骤计算参数，使得参数在E步骤中找到的预期对数似然最大化。然后使用这些参数估计来确定下一个E步骤中隐变量的分布，循环往复，直到收敛，找到局部最优解或全局最优解。

由于高斯分布概率密度函数是指数族，EM算法对其十分有用。在指数族的情况下，E步骤变为统计数据的期望和，M步骤涉及最大化线性函数，计算步骤更加简单，研究者们将EM算法用来估计高斯混合模型的参数。自此高斯混合模型开始被广泛应用于统计学领域，特别是在聚类分析和密度估计方面。通过引入隐变量，即每个数据点属于哪个高斯分布的概率，高斯混合模型能够实现对复杂数据的建模和分割。

进入21世纪后，随着机器学习和计算机视觉技术的快速发展，高斯混合模型的应用范围进一步扩展。在计算机视觉领域，高斯混合模型被用于背景建模、前景检测、图像分割等任务。通过对图像序列中的像素值进行建模，高斯混合模型能够有效地分离出前景和背景，为后续的图像分析和处理提供有力支持。由于视频流数据特性，原有的EM算法更新高斯混合模型参数公式，计算量将会随着视频帧的更新而增大。经过研究者的分析发现，随着视频帧的增多，该帧的数据对高斯混合模型的参数的影响越小，人们把原有的参数更新公式进行简化，大大降低了计算量。在后续的研究中，克里斯·斯托弗(Chris Stauffer)和格里姆森(W.E.L Grimson)采用了一种近似K-means的方法对高斯混合模型进行优化，如果像素的灰度值与高斯混合模型中某个高斯分布均值之差的绝对值小于2.5倍的标准差，则认为该像素值与此高斯分布匹配，也即该像素值是由此高斯分布对应的状态产生，使用阈值判断的方法代替计算后验概率，从而大大降低了该算法的计算量。